Hasse-Diagramm

In der Mathematik ist ein Hasse-Diagramm (auch Ordnungs- oder einfach Liniendiagramm genannt) eine bestimmte graphische Darstellung endlicher halbgeordneter Mengen. Solche Diagramme werden nach dem Mathematiker Helmut Hasse benannt.^[1]

Das Hasse-Diagramm für eine Halbordnung ${\displaystyle (M,\leq )}$ ergibt sich als Darstellung eines gerichteten Graphen, wobei die Elemente von ${\displaystyle M}$ die Knoten bilden. Zwei Knoten ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ werden durch eine Kante verbunden, wenn ${\displaystyle a<b}$ gilt und es keinen Knoten ${\displaystyle c}$ gibt mit ${\displaystyle a<c<b}$. (Hierbei ist ${\displaystyle a<b}$ als ${\displaystyle a\leq b}$ und ${\displaystyle a\not =b}$ zu verstehen.) Die Einschränkung auf solche ${\displaystyle a,b}$ nennt man transitive Reduktion der Halbordnung. Die Richtung der Kante wird dadurch zum Ausdruck gebracht, dass sich der Knoten ${\displaystyle b}$ oberhalb von ${\displaystyle a}$ befindet. Solch eine Anordnung lässt sich erreichen, da das Hasse-Diagramm zyklenfrei ist. Schleifen bei Reflexivität werden weggelassen.

Manchmal werden Hasse-Diagramme auch verwendet, um Striktordnungen (Ordnungsrelationen zweiter Art) darzustellen.

1. ↑ Helmut Hasse: Über die Klassenzahl abelscher Zahlkörper. Akademie-Verlag, Berlin 1952, S. 137, Fußnote 2.